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<title>Module libre</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Module libre</h1>

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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr">En <a href="Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">algèbre</a>, un module libre est un <a href="Module_sur_un_anneau" title="Module sur un anneau">module</a> M qui possède une base B, c'est-à-dire un sous-ensemble de M tel que tout élément de M s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire (finie) d'éléments de B.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définitions">Définitions</h2></div>

Une base de M est une partie B de M qui est à la fois :

<ul><li><a href="Sous-espace_vectoriel_engendr%C3%A9" title="Sous-espace vectoriel engendré">génératrice</a> pour M, c'est-à-dire que tout élément de M est <a href="Combinaison_lin%C3%A9aire" title="Combinaison linéaire">combinaison linéaire</a> d'éléments de B ;</li>

<li><a href="Ind%C3%A9pendance_lin%C3%A9aire" title="Indépendance linéaire">libre</a>, c'est-à-dire que pour toutes familles finies (ei)1≤i≤n d'éléments de B deux à deux distincts et (ai)1≤i≤n d'éléments de l'anneau sous-jacent telles que a1e1 + ... + anen = 0, on a : a1 = ... = an = 0.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples_et_contre-exemple">Exemples et contre-exemple</h2></div>

<ul><li>Étant donné un <a href="Anneau_unitaire" title="Anneau unitaire">anneau</a> A, l'exemple le plus immédiat de A-module libre est An. Réciproquement, tout A-module libre de base à n éléments est isomorphe à An.</li>

<li>Tout <a href="Groupe_ab%C3%A9lien" title="Groupe abélien">groupe abélien</a> admet une unique structure de ℤ-module. Les <a href="Groupe_ab%C3%A9lien_libre" title="Groupe abélien libre">groupes abéliens libres</a> sont exactement les ℤ-modules libres.</li>

<li>Contrairement aux <a href="Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espaces vectoriels</a>, cas particuliers des modules sur un corps, un module n'est pas toujours libre. Par exemple les ℤ-modules ℤ/2ℤ et ℚ ne sont pas libres. En revanche, tout module est le quotient d'un module libre.</li>

<li>Un sous-module d'un module libre n'est en général pas libre. Par exemple tout idéal (à gauche) de A est un A-module (à gauche), mais il n'est libre que s'il est engendré par un seul élément.</li>

<li>Le théorème de construction des bases partant d'une partie libre ou génératrice n'est pas valide pour les modules. Ainsi la partie non libre {2,3} engendre ℤ en tant que ℤ-module (car elle engendre 1 par 3 - 2 = 1). En revanche, ni le singleton {2} ni {3} n'engendrent ℤ seuls. De même la partie libre {2} ne peut pas se compléter en une base de ℤ.</li>

<li>Comme on définit la notion de <a href="Groupe_ab%C3%A9lien_libre" title="Groupe abélien libre">groupe libre engendré par un ensemble</a>, on<a href="#cite_note-1">[1]</a> définit celle de module libre sur un ensemble. Cette notion sert de base à celle de <a href="Produit_tensoriel_de_deux_modules" title="Produit tensoriel de deux modules">produit tensoriel</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés_générales">Propriétés générales</h2></div>

<ul><li>Si (Mi)i est une famille de modules libres sur A, alors leur <a href="Somme_directe" title="Somme directe">somme directe</a> ⊕i Mi est libre sur A.</li></ul>

Supposons que M et N sont des modules libres sur A.

<ul><li>Leur <a href="Produit_tensoriel_de_deux_modules" title="Produit tensoriel de deux modules">produit tensoriel</a> M ⊗ N est libre.</li>

<li>L'ensemble HomA(M, N) des applications A-linéaires, qui possède une structure naturelle de A-module, est libre. En particulier, le dual HomA(M, A) est libre.</li>

<li>Si C est une A-algèbre, alors M ⊗A C est libre sur C.</li>

<li>Sur un <a href="Anneau_principal" title="Anneau principal">anneau principal</a>, tout sous-module d'un module libre F est libre et de <a href="#Rang_d'un_module_libre_sur_un_anneau_commutatif_ou_noethérien">rang</a> inférieur ou égal à celui de F<a href="#cite_note-2">[2]</a>.</li>

<li>Tout module libre est <a href="Module_projectif" title="Module projectif">projectif</a> et plus généralement <a href="Module_plat" title="Module plat">plat</a>. Ces dernières propriétés sont plus souples que la liberté : par exemple, si 0 → M → N → L → 0 est une <a href="Suite_exacte" title="Suite exacte">suite exacte</a> de modules avec N et L libres, cela n'implique pas en général que M est libre. En revanche cette propriété est vraie pour les modules projectifs et pour les modules plats.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rang_d'un_module_libre_sur_un_anneau_commutatif_ou_noethérien">Rang d'un module libre sur un anneau commutatif ou noethérien</h2></div>

Une question naturelle est de savoir si, comme pour les espaces vectoriels, toutes les bases d'un module libre ont même <a href="Cardinalit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Cardinalité (mathématiques)">cardinal</a>. La réponse est négative en général<a href="#cite_note-3">[3]</a>, mais affirmative avec de faibles conditions supplémentaires sur l'anneau sous-jacent. Par exemple, il suffit que l'anneau soit commutatif, ou alors <a href="Anneau_noeth%C3%A9rien" title="Anneau noethérien">noethérien</a>, pour que le résultat tienne ; on peut dans ce cas parler de la dimension, également appelée rang, du module libre.

Supposons dans ce qui suit A commutatif et non <a href="Anneau_nul" title="Anneau nul">nul</a>.

<ul><li>Le rang d'une somme directe s'additionne, celui d'un produit tensoriel se multiplie, et reste inchangé par <a href="Extension_des_scalaires" title="Extension des scalaires">extension des scalaires</a>.</li>

<li>Si P est un <a href="Id%C3%A9al_maximal" title="Idéal maximal">idéal maximal</a> de A, alors M/PM est un espace vectoriel sur le corps A/P, de dimension égale au rang de M.</li>

<li>Si M → N est une <a href="Application_lin%C3%A9aire" title="Application linéaire">application linéaire</a> injective entre deux modules libres avec N de rang fini, alors M est de rang fini et inférieur ou égal à celui de N<a href="#cite_note-4">[4]</a>.</li>

<li>Si M → N est une application linéaire surjective entre deux modules libres, alors le rang de M est supérieur ou égal celui de N (en effet on a alors une application linéaire surjective d'espaces vectoriels M/PM → N/PN).</li>

<li>Si M → N est une application linéaire surjective entre modules libres de même rang fini, alors c'est un isomorphisme (son déterminant est inversible).</li></ul>

Les propriétés ci-dessus se traduisent également de la façon suivante : dans un module libre de rang α (fini ou pas), toute partie génératrice est de cardinal supérieur ou égal à α ; dans un module libre de rang fini n, toute partie libre a au plus n éléments et toute partie génératrice à n éléments est une base.

<ul><li>Toute <a href="Suite_exacte_courte" class="mw-redirect" title="Suite exacte courte">suite exacte courte</a> 0 → M → N → L → 0 de modules libres est scindée (puisque L est projectif) et N est alors isomorphe à M ⊕ L, autrement dit : le rang de N est la somme des rangs de M et de L. Cela peut être vu comme la généralisation du <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_du_rang" title="Théorème du rang">théorème du rang</a>, lequel concerne les espaces vectoriels.</li></ul>

<ul><li>Supposons que B est <a href="Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneau commutatif</a> contenant A, et aussi un A-module libre pour le produit, de base { bi }. Si C est un B-module libre de base { cj }, alors C est un A module libre de base { bi cj }. En particulier, le rang de C sur A est le produit des rangs de B sur A et de C sur B (fini ou infini).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge Lang</a>, <cite class="italique">Algèbre</cite> [détail des éditions]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+libre">, <abbr class="abbr" title="Troisième">3e</abbr> éd., Paris, Dunod, 2004

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Ce théorème est démontré dans <a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Module_sur_un_anneau/Module_sur_un_anneau_principal" class="extiw external" title="v:Module sur un anneau/Module sur un anneau principal">ce cours</a> de <a href="Wikiversit%C3%A9" title="Wikiversité">Wikiversité</a> pour F de rang fini, et dans <a href="Serge_Lang" title="Serge Lang">Serge Lang</a>, <cite class="italique">Algèbre</cite> [détail des éditions]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+libre">, appendice 2, §2 (en utilisant le <a href="Lemme_de_Zorn" title="Lemme de Zorn">lemme de Zorn</a>) pour F de rang quelconque. Le cas particulier d'un module libre de rang fini sur un <a href="Anneau_euclidien" title="Anneau euclidien">anneau euclidien</a> est traité dans l'article <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_des_facteurs_invariants" title="Théorème des facteurs invariants">Théorème des facteurs invariants</a>.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Voir l'article Invariance de la dimension <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number" class="extiw external" title="en:Invariant basis number">(en)</a>

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Tsit-Yuen_Lam" class="mw-redirect" title="Tsit-Yuen Lam">Tsit-Yuen Lam</a>, <cite class="italique" lang="en">Lectures on Modules and Rings</cite>, Springer, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « <a href="Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">GTM</a> » (<abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 189), <time>1999</time>, 557 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-387-98428-5, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=r9VoYbk-8c4C&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lectures+on+Modules+and+Rings&rft.pub=Springer&rft.aulast=Lam&rft.aufirst=Tsit-Yuen&rft.date=1999&rft.tpages=557&rft.isbn=978-0-387-98428-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AModule+libre"> en donne deux preuves, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=r9VoYbk-8c4C&pg=PA14">p. 14-16</a>, la première via un détour par les <a href="Anneau_noeth%C3%A9rien" title="Anneau noethérien">anneaux noethériens</a> et la seconde, plus élémentaire, via l'<a href="Alg%C3%A8bre_ext%C3%A9rieure" title="Algèbre extérieure">algèbre extérieure</a> et extraite de <a href="N._Bourbaki" class="mw-redirect" title="N. Bourbaki">N. Bourbaki</a>, <a href="%C3%89l%C3%A9ments_de_math%C3%A9matique" title="Éléments de mathématique">Éléments de mathématique</a>, Algèbre, chap. III, § 7.9, prop. 12 p. 519.

</li>

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<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de l’algèbre </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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